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量子力学 Quantum Mechanics

我个人认为,如果要去理解量子计算本身的东西,数学的东西是逃不掉的。在前面一章里面,我只展现了量子世界的许多古怪性质。其实我们处理实际的量子计算问题的时候,不需要在这些问题上面追根问底。这一章里面,我会用数学的方式去将第一章里面的内容重新表述一遍。此时,我会假定读者拥有一定的数理基础,包括矢量概念,复数运算$(i^2=-1)$,简单的概率论;如果你对于矩阵运算的方法(行矢量、列矢量、矩阵转置、矩阵乘法)很熟悉的话,那当然更好。

态矢 State Vector

量子态的态矢描述

右矢

$|\psi\rangle=\left[c_1,c_2,...,c_n\right]^T$

左矢

$\langle\psi|=\left[c_1^*,c_2^*,...,c_n^*\right]$

我们采用竖线和尖括号的组合描述一个量子态,其中每一个分量都是复数,右上角标T表示转置。这样的描述表示量子态是一个矢量。右矢表示一个 $1\times n$ 的列矢量,左矢表示一个 $n\times 1$ 的行矢量。另外,在讨论同一个问题时,如果左矢和右矢在括号内的描述相同的话,那么这两个矢量互为转置共轭。

内积和外积

对于任意的两个量子态 $|\alpha\rangle=\left[a_1,a_2,...,a_n\right]^T$ $|\beta\rangle=\left[b_1,b_2,...,b_n\right]^T$ 内积 $\langle \alpha|\beta\rangle=\sum_n a_ib_i=$一个数 外积 $|\alpha\rangle\langle\beta |=\left(a_ib_j\right)_{i,j}=n\times n $矩阵

两能级系统 Two Level System

事物的二元化:0和1、无和有、高和低、开和关、天和地、阴和阳、生和死、产生和消灭。二元化是一种将事物关系简化的哲学。基于二进制的计算理论正是利用了这种哲学思想。 在谈论量子计算原理前,我们可以先来看一看经典计算机是怎么做的。我们知道,经典计算机就是在不断的处理0、1的二进制数码,它们代表着逻辑电路中的高低电平。对于这些二进制数码的产生、传输、处理、读取,最终反馈到像显示器这种输出设备上的信号,就是一个计算机的工作流程。 对于微观量子而言,我们有一个决定粒子性质的最直接的参量——它的能量。之前就已经说过,粒子的能量只会在几个分立的能级上面取值。并且我们现在限制取值的可能性种类为两种。这就构成了两能级系统。除了某些特殊的情况之外,这两个能级必定能找出来一个较低的,称之为基态(ground state),记为 $|g\rangle$;另一个能量较高的,称之为激发态(excited state),记为 $|e\rangle$。 所以量子计算机里面也是由0和1来构成量子比特,只不过这里是指量子态的 $|e\rangle$ 和 $|g\rangle$。这就是一个两能级系统的特征。以列矢量的方式将它们记为 $$|e\rangle=\left( \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}\right) \quad |g\rangle=\left( \begin{matrix} 0\\ 1 \end{matrix}\right)$$ 行矢量的形式记为 $$\langle e|=(\begin{matrix} 1&&0 \end{matrix}) \quad \langle g|=(\begin{matrix} 0&&1 \end{matrix})$$

叠加态和测量 Superposition State And Measurement

按照态矢里面的描述,这两个矢量可以构成一个二维空间的基。任何一个态都可以写为这两个基在复数空间上的线性组合,即 $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta e^{i\theta}|1\rangle$ 其中 $e^{i\theta}$ 表示模为1幅角为 $\theta$ 的复数。 我们现在就可以给测量这件事情赋予数学上的含义了。我们定义测量就是将量子态 $|\psi\rangle$ 投影到另一个态 $|\alpha\rangle$ 上。获得这个态的概率是它们内积的平方,即 $P_\alpha=|\langle \psi|\alpha\rangle|^2$ 其它概率下会将量子态投影到它的正交态上面去,即 $P_{\alpha_\perp}=1-P_\alpha$ 测量之后量子态就坍缩到测量到的态上面。

相位、纯态和混合态 Phase, Pure State and Mixed State

如果说我们有办法将量子态初始化到某一个未知的叠加态上面,我们能否通过反复的测量得到它的表达式呢?看下面这种两种情况: $$|\psi_1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$$ $$|\psi_2\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$$ 我们会发现在 $|0\rangle$,$|1\rangle$ 的方向上测量,它们的表现都是一半概率为0,一半概率为1,根本不能区分。 这里我只是想提醒你相位是某种隐含的信息,从概率上无法表示的信息。实际上,量子态的相位是量子相干性的体现。关于量子相干性的更详细信息我会在接下来的部分介绍。 现在我们再来介绍另一种情况。想象我们左手抓着一个袋子,这个袋子里面有无数的量子态。他们全部都是 $|\psi_1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$ 这种叠加态。另外我们有一个机器可以在 $|0\rangle$,$|1\rangle$ 的方向上测量。 我们每次拿出来一个态,对它进行测量,不管它是 $|0\rangle$ 还是 $|1\rangle$,都扔到右手边的另一个袋子里面。反复这个过程,这样右边袋子里面的态越来越多了。因为我们的测量结果对于这两种情况是等概率的,所以右边的袋子里面约有一半的态是 $|0\rangle$,另一半是 $|1\rangle$。 我们从右手边的袋子里面取一个出来。在我们不知道手上的这个态是什么的情况下,我们能说它和左手边袋子里面的态一样都是 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$ 吗? 答案是不能。右边袋子里面的态实际上是一种经典的概率叠加,和等量的红球白球装在袋子里面一样。这样的态是不具有相位的。它只能表示为 $$\begin{cases} |\psi\rangle=|0\rangle;\quad P=0.5\\ |\psi\rangle=|1\rangle;\quad P=0.5 \end{cases}$$ 这种类似于概率列表的形式。 所以说,我们定义纯态就是“纯粹的量子态”,它不仅具有概率,还具有相位(也就是量子相干性)。混合态是纯态的概率性叠加,它往往失去了(部分或全部的)相位信息。

密度矩阵和布洛赫球 Density Matrix And Bloch Sphere

态矢是对纯态的描述,如果要描述一个混合态,就必须写成态集合和概率的列表形式,这样非常繁琐。所以我们采用密度矩阵来描述。 对于一个纯态而言,密度矩阵可以写为 $\rho=|\psi\rangle\langle \psi|$ 而对于一个混合态而言,密度矩阵的形式是 $\rho=\sum_i P_i|\psi_i\rangle\langle \psi_i|$ 其中 $\{P_i,\psi_i\}$ 是系统所处的态及其概率。 密度矩阵有以下的性质:
  • 对于一个两能级体系表述的态,不论是纯的还是混合的,都可以用密度矩阵 $\rho$ 表示
  • $\rho=\rho^2$ 当且仅当量子态时纯态时成立
  • $\rho$ 对角线上的分量表示整个系统如果经历一次测量,那么得到这个态的概率。
  • 我们如果只去操作和测量一个两能级体系,那么我们是分辨不出相同的密度矩阵的。
密度矩阵已经完备地表示了一个两能级系统可能出现的任何状态。为了更加直观地理解量子叠加态与逻辑门的作用,引入布洛赫球的概念,它能够方便的表示一个量子比特的任意状态。 如果量子态是一个纯态,那么它是球面上的点。点的z坐标衡量了它的 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的概率,即 $$P(0)=\frac{1+z}{2}$$ $$P(1)=\frac{1-z}{2}$$ 所以最上面表示 $|0\rangle$ 态,最下面表示 $|1\rangle$ 态。 再沿着平行于XY平面的方向,并且穿过这个点的Z坐标,可以得到一个圆。这个圆就象征着相位的复平面。所以这个点在这个圆上交X轴的角度就是单位复数的幅角。经过这个过程我们将每个纯态都与球面上的点一一对应了起来。 对于混合态而言,因为根据我们之前的描述,混合态实际上是多个纯态的经典统计概率的叠加。对于每一个纯态分量,我们连接球心和球面上的点,可以形成一个矢量。我们根据概率列表,对所有的纯态矢量进行加权平均,即可得到混合态的矢量,即得到了混合态对应的点。 混合态是球内部的点,根据混合的程度不同,矢量的长度也不同。最大混合态是球心。它意味着这里不存在任何量子叠加性。 例如(1,0,0)和(-1,0,0)点在布洛赫球上就是在X方向上的顶点和-X方向上的顶点。我们根据刚才的叙述,知道它们对应的量子态的概率分布就是Z坐标,即为0。所以, $$P_0(|\psi_1\rangle)=P_0(|\psi_2\rangle)=0.5$$ 沿XY平面横切,得到一个圆,我们可以看到这两个点对应的幅角是 $\theta_1=0$,$\theta_2=\pi$,所以我们就可以推断出来量子态分别为 $$\begin{align*} |\psi\rangle_1&=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\\ |\psi\rangle_2&=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)\\ \end{align*}$$ 如果将这两个态以1/2,1/2的概率混合,在布洛赫球上面的坐标将表示为(0,0,0),也就是球心。对应到密度矩阵的表述,即为 $$\rho=\frac{1}{2}|\psi_1\rangle\langle\psi_1|+\frac{1}{2}|\psi_2\rangle\langle\psi_2|=\left(\begin{matrix}0.5&&0\\0&&0.5\end{matrix}\right)$$ 即为最大混合态。
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